一、二叉樹(shù)解決了什么問(wèn)題

1、元素搜索

二叉樹(shù)的快速查找性質(zhì)使其非常適合于元素搜索。通過(guò)二叉樹(shù)的查找操作，可以高效地搜索指定元素是否存在于樹(shù)中。

2、數(shù)據(jù)排序

二叉搜索樹(shù)還可以用于數(shù)據(jù)排序。具體地說(shuō)，將數(shù)據(jù)插入到二叉搜索樹(shù)中，并按照一定規(guī)則遍歷樹(shù)，就可以得到有序的數(shù)據(jù)。

3、反向順序遍歷

通過(guò)對(duì)二叉樹(shù)的左右子樹(shù)遍歷順序進(jìn)行逆序遍歷，可以實(shí)現(xiàn)反向順序遍歷。這在某些場(chǎng)景下非常有用，例如一個(gè)日志文件，需要按時(shí)間逆序輸出。

4、構(gòu)建有效的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

二叉樹(shù)可以應(yīng)用到各種算法和系統(tǒng)中，提供高效的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和查找，非常適用于構(gòu)建各種有效的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，例如哈希表、堆等，這些數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中被廣泛使用。

二、二叉樹(shù)性質(zhì)

1、一般二叉樹(shù)性質(zhì)

在非空二叉樹(shù)的i層上，至多有2^i-1個(gè)節(jié)點(diǎn)(i>=1)。通過(guò)歸納法論證。在深度為K的二叉樹(shù)上非常多有2^k-1個(gè)結(jié)點(diǎn)（k>=1)。通過(guò)歸納法論證。對(duì)于任何一棵非空的二叉樹(shù),如果葉節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為n₀，度數(shù)為2的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為n₂，則有: n0 = n₂?+ 1。

在一棵二叉樹(shù)中，除了葉子結(jié)點(diǎn)（度為0）之外，就剩下度為2(n2)和1(n1)的結(jié)點(diǎn)了。則樹(shù)的結(jié)點(diǎn)總數(shù)為T(mén) = n0+n1+n2；在二叉樹(shù)中結(jié)點(diǎn)總數(shù)為T(mén)，而連線(xiàn)數(shù)為T(mén)-1。所以有：n0+n1+n2-1 = 2*n2 +n1；最后得到n0 = n2+1。

2、完全二叉樹(shù)性質(zhì)

具有n的結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹(shù)的深度為log₂n+1：

滿(mǎn)二叉樹(shù)是完全二叉樹(shù)，對(duì)于深度為k的滿(mǎn)二叉樹(shù)中結(jié)點(diǎn)數(shù)量是2^k-1 = n，完全二叉樹(shù)結(jié)點(diǎn)數(shù)量肯定非常多2^k-1，同時(shí)完全二叉樹(shù)倒數(shù)第二層肯定是滿(mǎn)的（倒數(shù)名列前茅層有結(jié)點(diǎn)，那么倒是第二層序號(hào)和滿(mǎn)二叉樹(shù)相同），所以完全二叉樹(shù)的結(jié)點(diǎn)數(shù)最少大于少一層的滿(mǎn)二叉樹(shù)，為2^k-1-1。

根據(jù)上面推斷得出：2^k-1-1< n=<2^k-1，因?yàn)榻Y(jié)點(diǎn)數(shù)Nn為整數(shù)那么n<=2^k-1可以推出n<=2^k?，n>2^k-1-1可以推出 n>=2^k-1，所以2^k-1k? 。即可得k-1<=log₂n2n]+1。

如果有一顆有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的完全二叉樹(shù)的節(jié)點(diǎn)按層次序編號(hào)，對(duì)任一層的節(jié)點(diǎn)i（1<=i<=n）有：

如果i=1，則節(jié)點(diǎn)是二叉樹(shù)的根，無(wú)雙親，如果i>1，則其雙親節(jié)點(diǎn)為[i/2]，向下取整如果2i>n那么節(jié)點(diǎn)i沒(méi)有左孩子，否則其左孩子為2i如果2i+1>n那么節(jié)點(diǎn)沒(méi)有右孩子，否則右孩子為2i+1

三、特殊的二叉樹(shù)及其特點(diǎn)

1、斜樹(shù)

所有的結(jié)點(diǎn)都只有左子樹(shù)（左斜樹(shù)），或者只有右子樹(shù)（右斜樹(shù)）。這就是斜樹(shù)，應(yīng)用較少。

2、滿(mǎn)二叉樹(shù)

所有的分支結(jié)點(diǎn)都存在左子樹(shù)和右子樹(shù)，并且所有的葉子結(jié)點(diǎn)都在同一層上，這樣就是滿(mǎn)二叉樹(shù)。就是完美圓滿(mǎn)的意思，關(guān)鍵在于樹(shù)的平衡。

根據(jù)滿(mǎn)二叉樹(shù)的定義，得到其特點(diǎn)為：

葉子只能出現(xiàn)在最下一層。非葉子結(jié)點(diǎn)度一定是2。在同樣深度的二叉樹(shù)中，滿(mǎn)二叉樹(shù)的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)非常多，葉子樹(shù)非常多。

3、完全二叉樹(shù)

對(duì)一棵具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹(shù)按層序排號(hào)，如果編號(hào)為i的結(jié)點(diǎn)與同樣深度的滿(mǎn)二叉樹(shù)編號(hào)為i結(jié)點(diǎn)在二叉樹(shù)中位置完全相同，就是完全二叉樹(shù)。滿(mǎn)二叉樹(shù)必須是完全二叉樹(shù)，反過(guò)來(lái)不一定成立。

其中關(guān)鍵點(diǎn)是按層序編號(hào)，然后對(duì)應(yīng)查找。

結(jié)合完全二叉樹(shù)定義得到其特點(diǎn)：

葉子結(jié)點(diǎn)只能出現(xiàn)在最下一層（滿(mǎn)二叉樹(shù)繼承而來(lái)）。最下層葉子結(jié)點(diǎn)一定集中在左 部連續(xù)位置。倒數(shù)第二層，如有葉子節(jié)點(diǎn)，一定出現(xiàn)在右部連續(xù)位置。同樣結(jié)點(diǎn)樹(shù)的二叉樹(shù)，完全二叉樹(shù)的深度最?。M(mǎn)二叉樹(shù)也是對(duì)的）。

延伸閱讀1：平衡二叉樹(shù)

平衡二叉樹(shù)或者是一顆空樹(shù)，或者是具有以下性質(zhì)的二叉樹(shù)：它的左子樹(shù)和右子樹(shù)的深度之差的絕對(duì)值不超過(guò)1，且它的左子樹(shù)和右子樹(shù)都是一顆平衡二叉樹(shù)。平衡因子(bf)：結(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)的深度減去右子樹(shù)的深度，那么顯然-1<=bf<=1。很顯然，平衡二叉樹(shù)是在二叉排序樹(shù)(BST)上引入的，就是為了解決二叉排序樹(shù)的不平衡性導(dǎo)致時(shí)間復(fù)雜度大大下降。